Koronaepidemien - litt matematisk oppklaring midt i depresjonen

Hvis det skal være en gang at jeg ikke trenger å skrive en innledning så må det være nå. Alle vet hva vi står midt oppe i, alle er litt forvirret, litt usikre, litt fortvilte. Vi leser daglig deprimerende tall i pressen og lurer på hvordan dette skal gå, både i Norge og resten av verden.

Og spørsmålene rundt tallene blir mange, og de er alvorlige. Hvor mange vil bli smittet. Har vi nok sykehuskapasitet. Og for å ta det ekstreme: kan 150 000 nordmenn dø!

Jeg har i en årrekke arbeidet med populasjonsdynamikk og populasjonsgenetikk og tenkte jeg kanskje kunne formidle noe som gjør det lettere for folk, og politikere, å tolke tallene. Ved CBD (Centre for Biodiversity Dynamics) er vi ikke spesialister på epidemiologi, men noen arbeider med parasitter, og mange inkludert meg selv har bred erfaring med statistikk og matematisk modellering. Ett av fagområdene vi er spesialister på er studier av aldersstrukturerte populasjoner og effekter av store tilfeldigheter på prosesser i naturen. Siden utviklingen av viruset kan formuleres som en aldersstrukturert modell, med en annerledes tolkning av 'alder', har vi et godt teoretiske grunnlag for å studere utviklingen av slike epidemier.

Økologi og populasjonsgenetikk er to store forskningsfelt som i stor grad er bygget opp ved hjelp forenklede modeller som hver for seg ikke gir korrekt beskrivelse, men likevel er nyttig for forståelsen av prosessene i naturen, og som samlet gir et godt overblikk. Denne angrepsvinkelen kan også være nyttig for å forstå hva som skjer med spredningen av koronaviruset i Norge og resten av verden, uten at vi nødvendigvis trenger å gå inn i detaljer om adferd og smitteoverføring. Nedenfor skal jeg forsøke å formidle noen grunnleggende resultater fra teorien om aldersstruktur som kan være oppklarende når man skal lese de tallene som nå strømmer mot.

Aldersstrukturert modell

Anta at personer som er smittet blir friske og ikke lenger smitter etter 14 dager. Vi er primært interessert i å studere utviklingen av antall smittebærere. Sykehusinnleggelser vil tilnærmet være en gitt prosentandel av dette tallet. Vi kan betrakter dette som en aldersstrukturert modell der 'alderen' til et individ er antall dager siden man ble smittet.

Forståelsen øker hvis vi starter med det enkleste spesialtilfellet, en såkalt null-modell. Anta at det er 100 personer i hver 'aldersgruppe', altså 1400 smittede, og at disse tilsammen hver dag smitter 100 nye. Daglig går det da 100 inn i populasjonen og 100 ut, slik at antall smittebærere forblir konstant. Det kumulative antall smittede i denne situasjonen øker med 100 per dag og kan framstilles grafisk som en rett linje med vinkelkoeffisient 100. Siden 1400 personer smitter 100 per dag vil hver person i gjennomsnitt smitte 1/14 per dag, og total 1 person i hele den smittsomme perioden. Hvis denne smittsomheten økes litt utover dette, så vil populasjonen, etter en transient periode på rundt 14 dager, gå over til å vokse eksponensielt. Det betyr at populasjonsstørrelsen hver dag multipliseres med det samme tallet, som er større enn. Dette gjelder både det kumulative antallet og antall nye smittede per dag. Hvis man derimot reduserer smittsomheten til litt under 1/14 vil populasjonen fremdeles utvikle seg eksponensielt, men det vil være en eksponensielt avtagende utvikling ved at det tallet vi multipliserer med hver dag nå er mindre enn 1.

Kraftig reduksjon etter 12. mars

Den 12. mars satte det norske regjeringen inn drastiske tiltak med den hensikt å få populasjonen av smittede til å vokse langsommere eller avta. En kikk på dataene kan tyde på at vi i Norge før dette var i en eksponensielt voksende fase, muligens med en vekst som avtok noe over tid ettersom folk allerede da ble mer forsiktige. Etter 12. mars er det grunn til å tro at gjennomsnittlig smittsomhet ble kraftig redusert. Akkurat på dette tidspunktet skjer det da noe i populasjonen som er litt vanskelig å forklare, og litt vanskelig å beskrive matematisk. Vi gikk over fra en hurtig voksende fase med overvekt av 'unge' individer, dvs. individer som har vært smittet i kort tid, til en fase med ukjent, men mindre vekst og større overvekt av 'gamle'. Vi får da en såkalt transient periode der ikke bare antall smittebærere, men også 'aldersfordelingen' endrer seg.

Jeg har forsøkt å illustrere dette med noen figurer basert på den enkle modellen ovenfor. Dette er ikke et forsøk på vitenskapelig tilpassing av modell til de norske dataene, men parameterne er valgt slik at illustrasjonene blir relevante for forståelsen. I vekstfasen fram til 12. mars er smittsomheten satt til null de tre første dagene etter smitte og deretter 0.3 i 11 dager (hver person smitter da i gjennomsnitt totalt 3.3 andre). Fra denne datoen ser vi på to forskjellige situasjoner, en optimistisk og en mer pessimistisk, der smittsomheten per dag settes til hhv. 0.07 og 1.12.

Totalt antall smittede, inkludert de som er blir friske, vokser da eksponensielt med en faktor 1.144 per dag før 12. mars og deretter hhv. med faktorer 0.953 og 1.016 etter den transiente periode. Disse scenariene er visualisert med de heltrukne linjene i figur 1. Legg merke til at effektene av tiltakene 12. mars ikke kommer særlig godt fram på denne figuren.

free

Ser vi derimot på antall smittsomme personer blir bildet et annet. Denne størrelsen har også en eksponensiell utvikling med de samme faktorene som ovenfor. Dette er framstilt i figur 2, pessimistisk og optimistisk i hhv. øvre og nedre panel.

free

Her ser vi store effekter av endringene 12.mars, men på grunn av forsinkelsen forårsaket av endringer i 'aldersstrukturen' vil det være transiente avvik fra eksponensiell utvikling i en periode etter at tiltakene er realisert, før vi nærmer oss de eksponensielle kurvene. De stiplede linjene viser det som kalles populasjonens totale reproduktive verdi. Dette er et begrep som ble innført av den kjente statistikeren og populasjonsgenetikeren R.A. Fisher allerede i 1930. Han regnes som en av grunnleggerne av både moderne statistikk og populasjonsgenetikk. Den reproduktive verdien til populasjonen er en lineærkombinasjon av aldersklassene som er lik den totale populasjonen når aldersstrukturen ikke lenger endrer seg. Men denne størrelsen vokser eksakt eksponensielt for enhver aldersstruktur, slik vi ser på figuren.

De heltrukne linjene i figur 3 viser utviklingen av antall nye smittsomme fra dag til dag.

free

Som vi ser blir det umiddelbart en stor effekt av reduksjonen i smittsomhet både i det pessimistiske (øvre panel) og optimistiske (nedre panel) tilfellet. Men selv i det optimistiske tilfellet etterfølges dette av en ny vekst, som skylles etterslepet fra aldersstrukturen i vekstfasen.

VG-grafer

Grafene vi leser om dagen gir ingen av disse størrelsene, men er basert på antall smittede som er blitt testet. For å illustrere dette har jeg antatt at ingen blir registrert de 7 første dagene og at det er like sannsynlig at registreringen av den smittede skjer hver av de neste 7 dagene. Hvis bare en andel av de smittede blir testes blir resultatene essensielt de samme, men antall registrerte smittede må da nedskaleres med en faktoren lik andelen smittede som blir testet. Hvis alle blir testet, blir utviklingen av totalt antall registrerte som vist ved de stiplede linjene i figur 1, antall smittede i figur 2, og antall nye smittede per dag i figur 3.

Avisa VG gir oss hver dag flere gode oppdaterte tall og grafer. Men det vi automatisk kommer inn på er den kumulative utviklingen (figur 1), som ikke så godt avslører hva som skjer. Men mange lesere har sikkert observert at man kan trykke på en knapp 'NYE', og får da fram det som svarer til figur 3. Grafene svinger mer opp og ned enn i min enkle deterministiske modell på grunn av tilfeldigheter, men ville i gjennomsnitt hatt den utviklingen jeg har vist dersom mitt valg av parametre var riktig.

Det spennende dagene og ukene framover er om vi får noe som minner om den optimistiske eller pessimistiske framstillingen. Fram til nå er det vanskelig å se om vi ligger nær øvre eller nedre panel i figur 3. Tidsforsinkelsene gjør at effekten av restriksjonene ikke kommer klart fram før om en liten uke. Folkehelseinstituttets foreløpige analyser viser også at vi nok må vente noen dager før vi med sikkerhet kan si hva resultatet ble. Men det stabile antallet nye registrerte smittede de siste dagene gir grunn til optimisme.

Det åpne spørsmålet er nå hva som skjer når man slakker på restriksjonene. I min optimistiske modell kunne vi fjerne så mye restriksjoner at smittsomheten på 0.77 smittede per person kunne få øke til nær 1, men ikke over 1, for da starter en ny vekst. Ingen vet i dag eksakt hvor vi var før 12. mars og hvor vi havnet etter denne datoen. Men oppskriften for regjeringen bør nok uansett være å starte forsiktig med relativt små endringer når man vet nok om utviklingen. Barn kan for eksempel gå på skole en eller to ganger per uka i små grupper. Og arbeidsplasser der folk møtes bør legge gode planer for å unngå potensiell overføring av viruset. Man kan kanskje slippe inn reisende til landet, men teste dem ved ankomst og holde dem i karantene til resultatet foreligger. Det vil sikkert dukke opp en rekke gode forslag når denne situasjonen kommer nærmere.

Hvordan stanser slike epidemier av seg selv

Til slutt ønsker jeg å komme med noen kommentarer om hvordan slike epidemier kan stoppe opp av seg selv. Det er i hovedsak to effekter som bidrar til dette. Den mest kjente er parallellen til det vi i populasjonsdynamikken kaller tetthetsregulering. Når det kumulative tallet på smittede utgjør en vesentlig andel av populasjonen vil en stor del av de som ellers kunne bli smittet være immune. Dermed overfører hver smittet person viruset til et mindre antall friske. Dette er en realistisk mekanisme som stopper utviklingen hvis andelen immune blir stor. Folkehelseinstituttet antyder at dette kan skje når 40-60 prosent av befolkningen er blitt immune. Det er mindre trolig at en epidemi skal stoppe opp som et resultat av denne effekten hvis andelen immune bare er rundt 20 prosent.

En mindre kjent effekt er heterogenitet i smittsomheten. Når HIV/AIDS epidemien oppsto i første halvdel av 80-tallet genererte det mye forskning. Det kom raskt fram at det i homofile miljøer i Califormia var mange som hadde flere partnere i løpet av et år enn det er dager i året. Faktisk var det maksimale over 3000 partnere per år (uten at vi egentlig forstår hvordan man kan få tid til det). De to kjente økologene og epidemiologene Robert May og Roy Anderson publiserte da en rekke artikler på Nature om epidemien, og et av temaene som jeg også selv var litt involvert i, var effekten av denne ekstreme heterogeniteten i smittsomhet. I årene som fulgte ble det lagt ned mye arbeid på å forstå detaljene i smitteoverføringen og det ble blant annet gjennomført en stor norsk seksualvaneundersøkelse.

De mest smittsomme lukes ut

Som en parallell til HIV/AIDS er det nødvendigvis også stor variasjon i smittsomhet av koronaviruset mellom individer. Noen omgår veldig mange mennesker veldig tett, både på jobb og i privatlivet, mens andre kan ha adferd som gir mye mindre mulighet for smitteoverføring. Det som da skjer, og som også skjedde med HIV/AIDS, er at epidemien først tar av i stor fart, i hovedsak blant den delen av befolkningen som er mest smittsomme. Etter en stund vil gruppen av smittede få lavere gjennomsnittlig smittsomhet fordi de mest smittsomme er luket ut og blitt immune. Smittsomheten kan da bli så liten at vi går fra eksponensielt voksende til avtagende prosess slik at epidemien dør ut.

Vi vil åpenbart se mange forskningsresultater knyttet til koronaepidemien i nærmeste fremtid. Dette blir viktig selv om man ikke kan vente store framskritt over kort tid, og hvis vi skal forstå spredningen blir det høyaktuelt å sette sammen tverrfaglige forskningsgrupper. Mye av det vi har sett i pressen til nå bærer preg av at mange kan mye om spesielle, men relevante problemstillinger. For å kunne gjøre en innsats her må man gå både i dybden og bredden, noe som er umulig uten full fokus på tverrfaglighet fra første øyeblikk.

Les alle UAs artikler om koronaviruset her.